Nepromenjivost i Dinamika Prirode
Prekratak uvod u matematičku fiziku
Kada nešto izgleda komplikovano, ljudi umeju da kažu da je to ’rocket science’ ili ’viša matematika’. Čime se opravdava odustajanje od razumevanja, za koje se misli da je nemoguće sve dok neko nije prošao višegodišnji trening. Iako je istina da za konkretna izračunavanja, pa čak i samo čitanje fizičkih ili matematičkih radova, zaista treba dosta godina učenja i prakse, razumevanje o čemu se tu radi nije baš tako teško postići a veoma je važno kao deo našeg opšteg obrazovanja. Probaću to da ilustrujem na primeru matematičke fizike, koja, u neku ruku, povezuje ’rocket science’ i ’višu matematiku’.
Kako, dakle, nekome objasniti matematičku fiziku na nekoliko strana? Počeću od nastanka fizike, što uprošćeno znači od Njutna. Zakoni mehanike, koje je on prvi definisao su zapravo stav o tome da se u fizičkom svetu nikada ne dogadja ništa suštinski novo. Nema nastanka i nema nestanka. Kvantitativno, suma svega postojećeg je jedna konstanta, a ne promenjiva. Sve materijalno što postoji već je postojalo i ranije. A kada se menja, menja se jer potencijal promene već nosi u sebi. Materijalni substrat Kosmosa se konstantno transformiše kroz medjusobnu interakciju svojih elemenata, ali se nikada niti povećava niti smanjuje.
Ko misli da ovo nije manje metafizički stav od bilo kog drugog, potpuno će biti u pravu. Jedina razlika je u tome što je ovaj stav omogućio kvantifikaciju promene, pa tako upotrebu matematike. Kvantitativna konstantnost Kosmosa naprosto znači da se stanje pre neke interakcije može predstaviti kao jednako stanju posle interakcije, to jest da se čitava transformacija može predstaviti kao matematička jednačina. Ovo je suština fizike. Sve ostalo su tehnikalije, koje omogućuju da se bolje definišu parametri nekog fizičkog stanja kao i kvantitativni modeli dinamičkih promena.
Svaka pojava kvantitativne nejednakosti tokom nekog eksperimenta uvek se tumači kao siguran znak da nešto nije izmereno kako treba. Recimo, kada je primećeno da kod radioaktivnog raspada dolazi do pojave ’gubljenja’ energije, Pauli je 1930. zaključio da ta razlika u energiji mora da znači da se generisala neka čestica koja ne reaguje na merne instrumente. Tu česticu je Fermi 1933. nazvao ’neutrino’, a njegovo postojanje je dokazano tek 1956. godine. U medjuvremenu, naravno, ni jednom fizičaru nije palo na pamet da pomisli da se ovde stvarno radilo o nestanku neke energije…
Pošto je svaka promena rezultat fizičke interakcije, naravno da neće biti nikakve promene bez prethodnog fizičkog kontakta. Nebitno je da li se taj kontakt odvija ’na blizinu’ ili ’na daljinu’. Kontakt može biti direktniji ili indirektniji, jači ili slabiji, kratkotrajniji ili dugotrajniji, ali svakako utiče na sve entitete koji dolaze u kontakt. Dakle, ako se potrudimo da definišemo stanje i kretanje svakog od ovih entiteta pre kontakta, neki od parametara ovog stanja – kao što su, recimo, položaj, brzina ili potencijalna energija – nam omogućuju da utvrdimo šta će se dogoditi tokom i nakon interakcije.
Njutnu je odmah bilo jasno da ovo zahteva jednu matematiku koja još uvek nije postojala u njegovo doba, iako je postojao adekvatan okvir za njeno razvijanje. Taj okvir je ’Kartezijanski grid’ - koordinatni sistem koji je omogućavao da se neka dinamika, neka promena stanja, na vizuelan način predstavi kao promena vrednosti jedne varijable, u odnosu na neku drugu varijablu.
Ta funkcionalna relacija dve ili više varijabli se predstavlja grafički kao nekakva funkcija koja se može analizirati kako diferencijacijom - utvrdjivanjem promena od tačke do tačke - tako i integracijom, kojom se dobijaju odredjene kumulativne vrednosti. Sve diferencijalne promene se grafički predstavljaju takozvanom ’derivativnom’ funkcijom, čije dalje diferenciranje i integrisanje omogućuje da se preciznije kvantifikuje ukupna dinamika sistema. Ovakve jednačine se zovu ’diferencijalne jednačine’ a ime za metodu njihove matematičke analize je ’kalkulus’. Razvili su ga u 17. veku, potpuno nezavisno jedan od drugoga, i Njutn i Lajbnic.
Receptura matematičke fizike se umnožavala i postajala sve kompleksnija što se više ispostavljalo da standardni kalkulus ipak ne može da zadovolji rastući apetitet fizičara. Kao prvo, tokom 18. veka postalo je jasno da se fizika ne odnosi samo na direktne interakcije nekih individualnih tela, već da postoje polja unutar kojih se kontinualno distribuiraju sile uticaja. To je dovelo do neophodnosti vektorskog mapiranja, koristeći matematičke metode izračunavanja vrednosti i smera delovanja sila u svakoj pojedinačnoj tački nekog polja. Pokazalo se takodje da tradicionalne diferencijalne jednačine nisu više bile dovoljne, već su morale da budu uvedene i takozvane ’parcijalne diferencijalne jednačine’, koje uključuju nepoznatu funkciju sa nekoliko nezavisnih varijabli i njihovih parcijalnih izvoda. Ovakve jednačine su se pokazale kao široko primenjive za rešavanje različitih fizičkih problema: od zvučnih do toplotnih, elektrostatičnih, elektrodinamičnih, fluidnih, elastičnih…
Kao drugo, ispostavilo se da dinamika pojedinih sistema mora da se opiše zajedničkim predstavljanjem odnosa više varijabli. To je donelo novi formalizam fizike, koji se zasnivao na takozvanim ’operatorima’, kao što su Lagranžijan i Hamiltonijan, koji su stanje sistema predstavljali jedinstvenom vrednošću iako ona proizlazi iz kombinacije više parametara. Onda se utvrdilo da promena stanja mora nekada da se posmatra u multi-dimenzionalnom koordinatnom sistemu što je jednačine koje opisuju stanje sistema učinilo krajnje komplikovanim. Pa su morali da budu uvedeni i kompleksniji matematički entiteti kao što su tenzori ili matrice, donoseći sa sobom niz novih matematičkih metoda…
Da ne pričamo o tome da, u različitim oblastima, kao što je termodinamika ili kvantna fizika, nije moguće jednoznačno utvrditi individualna stanja, već samo njihove verovatnoće. Što je učinilo da kalkulacija verovatnoće kao i kompleksne statističke metode distribucije verovatnoće postanu važan deo vokabulara matematičke fizike.
Na sve to, došlo se do zaključka da većina dinamičkih procesa ne može da se opiše linearnim funkcijama, već zahteva potpuno novi pristup koji se bazirao na Kantorovoj teoriji skupova. Furijeova transformacija, koja konvertuje jednu funkciju u niz koji predstavlja frekvencije koje su implicitne u toj funkciji - iako već odranije upotrebljavana u fizici - odjednom je postala još važnija, kao metod da se matematički analiziraju i predstave neki tipovi haotičnih struktura, koje proizlaze iz nelinearne dinamike.
Ovde treba stati, jer je već i ovo do sada, zbog kratkoće formata, nedovoljno precizno i krajnje neadekvatno. Ali, poenta i nije da se zaista nauči šta sve ove metode podrazumevaju i kako funkcionišu. Poenta je bila da se stekne predstava o tome koje probleme matematička fizika uopšte pokušava da reši i na koji način. Kao i da se razume neraskidiva veza fizike i matematike, izvedena iz stava o kvantitativnoj nepromenjivosti Univerzuma, koja je i omogućila fizici da se, u 17. i 18. veku razgraniči od metafizike.
Sve to sa nadom da ’rocket science’ i ’viša matematika’ više baš i neće da nam izgledaju kao ’rocket science’ i ’viša matematika’…
Autor teksta: Slobodan Simović
 | A guest post by
|